Das Aufarbeiten von Messwerten gehört zum Handwerkszeug von Studenten der Naturwissenschaften. Meistens wird dies jedoch schlichtweg nur vorausgesetzt und nicht beigebracht. Ein typisches Problem aus dem Bereich der Mikrobiologie: die Messwerte einer Populationsentwicklung zeigen ein lineares Wachstum und flachen schließlich bei einer Schranke ab. Für das Protokoll wird nun verlangt, dass in einem Diagramm sämtliche Messwerte und eine Regressionsgerade durch den linearen Teil zu Beginn der Messkurve zu sehen sind.

Einfügen einer linearen Regressionsgeraden (Trendlinie)

Tabelle 1: Messwerte
X-Werte Y-Werte
1 5
2,5 16
3 27
4,75 37
6 45
9 49
14 50
Diagramm mit automatischer Regressionsgeraden

Abb. 1: Diagramm mit automatisch eingefügter Regressionsgeraden.

In Tabelle 1 sind einige Beispielwerte für eine Reihe von Messwerten mit zuerst linearem Verhalten. Die Werte sind in Abbildung 1 in einem XY-Diagramm dargestellt und es wurde auch schon eine automatische Regressionsgerade (Trendlinie) eingefügt. Dies kann erreicht werden, in dem im Diagramm-Editier-Modus (Doppelklick auf das Diagramm) per Kontextmenü (Rechtsklick) auf die Messwerte der Punkt Trendlinie hinzufügen ausgewählt und im entsprechenden Auswahlfeld der lineare Trendlinientyp ausgewählt wird. Der entsprechende Dialog ist in Abbildung 2 gezeigt.

Leider kann hierbei der Datenbereich für die Regressionsgerade nicht eingeschränkt werden, so dass auch die abflachenden Werte mit berücksichtigt werden, was nicht dem geforderten Diagramm entspricht. Daher ist es notwendig die Regressionsgerade durch den linearen Anfangsbereich der Messkurve von Hand zu berechnen.

Dialogfenster automatische Regressionsgerade hinzufügen

Abb. 2: Automatisches hinzufügen einer linearen Regressionsgeraden.

Manuelles Erstellen einer Regressionsgeraden

LibreOffice bietet einige mathematische Funktionen an, die auf Datenwerte angewendet werden können, darunter auch eine zum Berechnen der Steigung einer linearen Gerade durch eine Anzahl von Punkten. Die entsprechende Funktion nennt sich RGP.

Die Funktionen haben je nach verwendeten Sprachpacket einen anderen Namen! Ist LibreOffice auf Englisch eingestellt, lautet die Funktion LINEST.

Button für Funktionsassistent

Abb. 3: QuickIcon zum Aufruf des Funktionsassistenten.

Der Funktions-Assistent von LibreOffice

Abb. 4: Dialogfenster Funktions-Assistent mit RGP Funktion.

Um sich einen Überblick über alle verfügbaren Funktionen und deren Parameter zu verschaffen, bietet sich der Funktions-Assistent an. Diesen findet man per Qickicon unter der Taskbar, wie in Abbildung 3 gezeigt.

Im Funktions-Assistent werden – wie in Abbildung 4 gezeigt – nicht nur alle Funktionen gelistet, die einzelnen Parameter werden auch erklärt und Formeln können quasi „zusammengebaut“ werden. Wird der Funktions-Assistent verwendet um die RGP-Funktion zu erstellen, dann stehen die Rückgabewerte in mehreren Zellen. Alternativ kann die Funktion von Hand in ein Feld eingegeben werden, was in den folgenden Beispielen gezeigt wird.

Regressionsgerade berechnen mit Y-Achsenabschnitt

Allgemein bekannt ist die Geradengleichung: [latex]f(x) = Steigung \cdot x + YAchsenabschnitt[/latex]

Die Werte für die Steigung und den Y-Achsenabschnitt der Geraden lassen sich einfach über die Funktionen RGP (Alternativ STEIGUNG) und ACHSENABSCHNITT berechnen, denen man ausschließlich die Werte aus dem linearen Teil der Messkurve übergibt. Die Funktionen sind in Tabelle 2 gelistet.

Tabelle 2: Berechnung der Werte der Regressionsgeraden 1
Beschreibung Wert Formel
Steigung mit RGP 8,06 =RGP(Feld.Y1:Feld.Y2;Feld.X1:Feld.X2)
Steigung mit STEIGUNG 8,06 =STEIGUNG(Feld.Y1:Feld.Y2;Feld.X1:Feld.X2)
Y-Achsenabschnitt -1,79 =ACHSENABSCHNITT(Feld.Y1:Feld.Y2;Feld.X1:Feld.X2)

Regressionsgerade durch den Nullpunkt

Es genügt häufig jedoch nicht nur die Regressionsgerade durch den linearen Teil zu berechnen, da zu Recht gefordert wird, dass die Regressionsgerade durch den Nullpunkt gehen sollte! Hierfür vereinfacht sich die Berechnung der Werte für die Regressionsgerade in LibreOffice, da der Y-Achsenabschnitt ja schon bekannt ist [0, 0] und die RGP-Funktion einen weiteren Parameter anbietet, mit der bei der Berechnung der Steigung berücksichtigt wird, dass die Regressionsgerade durch den Nullpunkt gehen sollte, wie in Tabelle 3 gezeigt wird.

Tabelle 3: Steigung Regressionsgerade 2
Beschreibung Wert Formel
Steigung durch Null 7,64 =RGP(Feld.Y1:Feld.Y2;Feld.X1:Feld.X2;0)
Ein Y-Achsenabschnitt muss hier nicht extra berechnet werden => der ist bei einer Geraden durch den Nullpunkt entsprechend 0.

Werte für Regressionsgeraden berechnen

Nachdem die Parameter Steigung bzw. Y-Achsenabschnitt berechnet wurden, wird eine X/Y-Wertetabelle erstellt. Hierfür genügen zwei Wertepaare, nämlich Start- und Endwert, die mit der Geradengleichung über die berechneten Werte von Steigung und Y-Achsenabschnitt berechnet werden können.

Tabelle 4: Regressionsgerade 1
X-Werte Y-Werte Formel
0 -1,79 =Feld.Steigung1*XWert.1+Feld.YAchsenabschnitt
7 54,6 =Feld.Steigung1*XWert.2+Feld.YAchsenabschnitt
Tabelle 5: Regressionsgerade 2
X-Werte Y-Werte Formel
0 0 =Feld.Steigung1*XWert.1
7 53,5 =Feld.Steigung2*XWert.2
Die Werte für die Regressionsgerade durch den Nullpunkt in Tabelle 5 hätten auch direkt eingetragen werden können ([latex]0 \cdot 0[/latex] lässt sich auch im Kopf rechnen). Aber so bleibt die Möglichkeit bestehen die Regressionsgerade nach links oder nach rechts zu verlängern, indem die X-Werte angepasst werden.

Manuell berechnete Regressionsgeraden in Diagramm hinzufügen

Dialogfenster Datenreihen hinzufügen

Abb. 5: Werte für Regressionsgerade als Datenreihe hinzufügen.

Im Diagramm-Editier-Modus (Doppelklick auf das Diagramm) findet sich im Kontextmenü (Rechtsklick) des Diagramms das Feld Datenbereich. Über das entsprechende Dialogfenster – siehe Abbildung 5 – lassen sich weitere Geraden in das aktuelle Diagramm aufnehmen. Hier werden die X/Y-Wertepaare der manuell berechneten Regressionsgeraden – siehe Tabelle 4 und Tabelle 5 – in eine neue Datenreihe eingefügt. Diese werden zuerst als zwei einzelne Punkte angezeigt, so dass die Darstellung noch geändert werden muss.

Um die Eigenschaften der Datenreihe zu bearbeiten kann der Punkt Datenreihe formatieren über das Kontextmenü aufgerufen werden (nicht direkt auf einen Punkt klicken) und dann im Tab Linie die Linien und Symboleigenschaften bearbeiten werden, was in Abbildung 6 gezeigt wird.

Dialogfenster Datenreihen formatieren

Abb. 6: Linien und Symbole bearbeiten.

Das fertige Diagramm

Das fertige Diagramm in Abbildung 8 enthält nun die automatisch erstellte Regressionsgerade (blau), sowie zwei manuell erstellte Regressionsgeraden. Die Regressionsgerade 1 (rot) den linearen Teil der Messkurve, die Regressionsgerade 2 (gelb) zusätzlich, dass sie durch den Nullpunkt gehen sollte.

Diagramm mit manuell erstellten Regressionsgeraden

Abb. 7: Diagramm mit manuell erstellten Regressionsgeraden.

Beispieldatei herunterladen

Beispieldatei zur Erstellung von Regressionsgeraden

Nachtrag: Geradengleichung der manuell erstellten Regressionsgeraden anzeigen lassen

In Abbildung 7 wird die Formel der automatisch erstellten Regressionsgerade angezeigt. Soll die Formel für die manuell erstellten Regressionsgeraden ebenfalls angezeigt werden, kann dies mit einem Trick erreicht werden:

  1. Im Dialog zu Datenreihen formatieren in Abbildung 6 wird der Linientyp auf unsichtbar gestellt.
  2. Zur manuell erstellten Regressionsgeraden wird eine Trendlinie eingefügt, wobei wie in Abbildung 2 ein Häckchen bei Formel anzeigen gesetzt wird.

Leider sieht die Legende dann etwas seltsam aus. Eine Alternative Lösung wäre, ein Screenshot von dem Diagramm zu erstellen und die Geradengleichung mit einem Bildbearbeitungswerkzeug wie Gimp hinzuzufügen.